Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn).特別地，若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動點(diǎn).
（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時，其兩個焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線在變換
：（，）下的不動點(diǎn)的存在情況和個數(shù).

Answer 1

（1）（2）（3）兩個

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①. 又由條件得…②，故由①、②可解得，. 即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 且橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和. 對于變換：，當(dāng)時，可得 設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為； 又即的坐標(biāo)為. （2）設(shè)是橢圓在變換下的不動點(diǎn)，則當(dāng)時， 有，由點(diǎn)，即，得： ，因而橢圓的不動點(diǎn)共有兩個，分別為和. (3) 設(shè)是雙曲線在變換下的不動點(diǎn)，則由 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140147920438.gif" style="vertical-align:middle;" />，，故. 不妨設(shè)雙曲線方程為（），由代入得 則有, 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140149261394.gif" style="vertical-align:middle;" />，故當(dāng)時，方程無解； 當(dāng)時，要使不動點(diǎn)存在，則需， 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823140149261394.gif" style="vertical-align:middle;" />，故當(dāng)時，雙曲線在變換下一定有2個不動點(diǎn)，否則不存在不動點(diǎn). 進(jìn)一步分類可知： （i）當(dāng)，時，即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時， ； 此時雙曲線在變換下一定有2個不動點(diǎn)； （ii）當(dāng)，時，即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時， .

此時雙曲線在變換下一定有2個不動點(diǎn).