Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x

．
（1）當a=1時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在[2

，+∞)

上是單調(diào)遞增的，求實數(shù)a的取值范圍．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)的極值即可；
（2）由題意得f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

≥0在[2

，+∞)

上恒成立，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=lnx+

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

=0，∴x=1，
∴當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴當x=1時，函數(shù)有極小值為f（1）=1．
（2）f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
∵f（x）在[2

，+∞)

上是單調(diào)遞增的，
∴f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

≥0在[2

，+∞)

上恒成立，
∴a≤2．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值等知識，屬于基礎題，應熟練掌握．