Question

曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)m²（m＞1）的點的軌跡．給出下列三個結(jié)論：①曲線C過坐標(biāo)原點②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱③若點P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積的最大值為

1

3

．其中所有正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①由題意曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距離的積等于常數(shù)a²（a＞1），利用直接法，設(shè)動點坐標(biāo)為（x，y），由兩點的距離公式得到動點的軌跡方程，代入原點，即可判斷；
②把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，即可判斷；
③求出面積，由軌跡方程解得y²，再配方求得最大值，即可判斷．

解答： 解：對于①，由題意設(shè)動點坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及兩點間的距離公式的得：

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=m²?[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=m⁴（1）將原點代入驗證，此方程不過原點，故①錯；
對于②，把方程中的x被-x代換，y被-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于原點對稱．故②正確；
對于③，由題意知點P在曲線C上，則△F₁PF₂的面積S=

1

2

×2|y|=|y|，
由（1）式平方化簡的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-m⁴=0⇒y²=-x²-1+

4x2+m4

或
y²=-x²-1-

4x2+m4

（舍）  
把三角形的面積式子平方得：S²=y² 對于y²=-x²-1+

4x2+m4

（2）
 令

4x2+a4

=t（t≥m²＞1）⇒x²=

t2-m4

4

，
代入（2）得y²=-

t2

4

+

m4

4

-1+t=-

1

4

（t-2）²+

m4

4

≤

m4

4

，
故可知S≤

1

2

m²，故③錯．
故答案為：②．

點評：此題重點考查了利用直接法求出動點的軌跡方程，并化簡，利用方程判斷曲線的對稱性及利用解析式選擇換元法求出值域．