Question

已知函數(shù)f_t（x）=（x-t）²-t（t∈R），設a＜b，f（x）=

fa(x)，fa(x)＜fb(x) fb(x)，fa(x)≥fb(x)

，若函數(shù)y=f（x）+x+a-b有三個零點，則b-a的值為（　�。�

• A、2+

  5

• B、2+

  3

• C、

  5-2

• D、2-

  3

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：解方程f_a（x）=f_b（x）得交點坐標，函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a有三個不同的交點，由圖象知，點P在l上，故，由此解得b-a的取值．

解答： 解：作函數(shù)f（x）的圖象，且解方程f_a（x）=f_b（x）得，
（x-a）²-a=（x-b）²-b，解得x=

a+b-1

2

，此時y=（

a+b-1

2

-a）²-a=（

b-a-1

2

）²-a，
即交點坐標為（

a+b-1

2

，（

b-a-1

2

）²-a），
若y=f（x）+x+a-b有三個零點，
即f（x）+x+a-b=0有三個根，
即f（x）=-x+b-a，
分別作出f（x）與y=-x+b-a的圖象如圖：
要使函數(shù)y=f（x）+x+a-b有三個零點，
即函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a有三個不同的交點．
由圖象知，點P在l上，
所以（

b-a-1

2

）²-a=-

a+b-1

2

+b-a，
即（

b-a-1

2

）²=

b-a+1

2

，
設t=b-a，則t＞0，
則方程等價為

(t-1)2

4

=

t+1

2

，即t²-4t-1=0，
即t=

4± 20

2

=2±

5

，
∵t＞0，∴t=2+

5

，即b-a=2+

5

，
故選：A．

點評：本題主要考查根的存在性以及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點與方程的根的關系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．．