Question

18．已知常數(shù)a≠0，f（x）=alnx+2x．
（1）當a=-4時，求f（x）的極值；
（2）當f（x）的最小值不小于-a時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為alnx+2x+a≥0，令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=$\frac{a}{x}$+2，通過討論g（x）的單調(diào)性，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
a=-4時，f（x）=-4lnx+2x，
f′（x）=2-$\frac{4}{x}$=$\frac{2x-4}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）_極小值=f（2）=4-4ln2；
（2）f（x）的最小值不小于-a，
即alnx+2x+a≥0，
令g（x）=alnx+2x+a，g′（x）=$\frac{a}{x}$+2，
a≥0時，g（x）在（0，+∞）遞增，無最小值，不合題意，
a＜0時，令g′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{a}{2}$，令g′（x）＜0，解得：x＜-$\frac{a}{2}$，
∴g（x）在（0，-$\frac{a}{2}$）遞減，在（-$\frac{a}{2}$，+∞）遞增，
∴g（x）_最小值=g（-$\frac{a}{2}$）=aln（-$\frac{a}{2}$）≥0，
解得：-2≤a＜0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．