Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：由 ， 得 .

依題意△是等腰直角三角形，從而，故.

所以橢圓的方程是. 

（Ⅱ）解：設，，直線的方程為.  

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得 .

所以 ，. 

若平分，則直線，的傾斜角互補，

所以.

設，則有 .

將 ，代入上式，

整理得 ，

所以 . 

將 ，代入上式，

整理得 . 

由于上式對任意實數(shù)都成立，所以 .

綜上，存在定點，使平分.

考點：橢圓與直線的位置關系

點評：解決的關鍵是對于直線與橢圓的位置關系的聯(lián)立方程組，設而不求的代數(shù)思想來解決解析幾何的本質(zhì)，屬于基礎題。