Question

設曲線C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）導函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）數列{a_n}滿足a₁=e，an+1=2f′(

1

an

)+3e．求證：數列{a_n}中不存在成等差數列的三項；
（Ⅲ）對于曲線C上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求證：存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀）．

Answer 1

分析：（I）先對函數進行求導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值即可．
（II）根據遞推關系求出數列通項an，假設數列{an}中存在成等差數列的三項a_r，a_s，a_t，尋求矛盾即可．
（III）假設存在，再進行論證

解答：解：（I）f′(x)=

1

x

-e=

1-ex

x

=0，得x=

1

e

當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減

∴當x=

1

e

時，f（x）取得極大值f(

1

e

)=-2，沒有極小值；      …（4分）
（II）∵an+1=2f′(

1

an

)+3e，∴a_n+1=2a_n+e

an+1+e

an+e

=2，∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假設數列{a_n}中存在成等差數列的三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
則2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數，1+2^t-r為奇數，假設不成立
因此，數列{a_n}中不存在成等差數列的三項   …（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，∴

x2-x1

x0

-ln

x2

x1

=0
即x0ln

x2

x1

-(x2-x1)=0，設g(x)=xln

x2

x1

-(x2-x1)g(x1)=x1ln

x2

x1

-(x2-x1)，

g(x1)|

/ x1

=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₁）是x₁的增函數，
∵x₁＜x₂，∴g(x1)＜g(x2)=x2ln

x2

x2

-(x2-x2)=0；g(x2)=x2ln

x2

x1

-(x2-x1)，

g(x2)|

/ x2

=ln

x2

x1

-1＞0，g（x₂）是x₂的增函數，
∵x₁＜x₂，∴g(x2)＞g(x1)=x1ln

x1

x1

-(x1-x1)=0，
∴函數g(x)=xln

x2

x1

-(x2-x1)在（x₁，x₂）內有零點x₀，…（10分）
又∵

x2

x1

＞1，∴ln

x2

x1

＞0，函數g(x)=xln

x2

x1

-(x2-x1)在（x₁，x₂）是增函數，
∴函數g(x)=

x2-x1

x

-ln

x2

x1

在（x₁，x₂）內有唯一零點x₀，命題成立…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及等差數列的性質，屬于中檔題．