Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，是曲線圖象上的兩個相異的點，若直線的斜率恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（3）設(shè)函數(shù)有兩個極值點，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；

（2）；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，，分別解不等式與可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間；

（2）在上單調(diào)遞增，由在恒成立，求的范圍即可；（3）由是方程可得，，用表示得，令，則，構(gòu)造函數(shù)（），求的導(dǎo)數(shù)，研究其單調(diào)性得在上單減，∴，可求得.

試題解析： （1） ，

令，∴或，∴的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為.

（2） 即，所以，令，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴對恒成立，∴，∴對恒成立，又∵，當(dāng)時取等號，∴，故.

（3），因為函數(shù)有兩個極值點，所以是方程的兩個根，即，所以是方程的兩個根，

所以有，，

∴

令，則，設(shè)（），

∴，

∴在上單減，∴，故.