Question

設(shè)拋物線C₁：x ²＝4 y的焦點(diǎn)為F，曲線C₂與C₁關(guān)于原點(diǎn)對稱．

(Ⅰ) 求曲線C₂的方程；

(Ⅱ) 曲線C₂上是否存在一點(diǎn)P（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作C₁的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系、等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

(Ⅰ)解；因?yàn)榍�線與關(guān)于原點(diǎn)對稱，又的方程，

所以方程為．                 …………5分

(Ⅱ)解：設(shè)，，,．

的導(dǎo)數(shù)為，則切線的方程，

又，得，

因點(diǎn)在切線上,故．

同理, ．

所以直線經(jīng)過兩點(diǎn)，

即直線方程為,即，

代入得，則,，

所以 ，

由拋物線定義得，．

所以，

由題設(shè)知，，即，

解得，從而．

綜上，存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為

 或 ．

                                              …………15分