Question

如圖，G是△OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共線．
（1）設

PG

=λ

PQ

，將

OG

用λ、

OP

、

OQ

表示；
（2）設

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，證明：

1

x

+

1

y

是定值；
（3）記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T．求

T

S

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）尋找包含

OG

的圖形△OPG，利用向量的加法法則知

OG

=

OP

+

PG

，在根據

PG

=λ

PQ

和

PQ

=

OQ

-

OP

即可
（2）根據（1）結合

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

知：

OG

=(1-λ)

OP

+λ

OQ

=(1-λ)x

OA

+λ y

OB

在根據G是△OAB的重心知：

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

，最后根據

OA

、

OB

不共線得到關于x，y，λ的方程組即可求解
（3）根據三角形面積計算公式S△ABC =

1

2

absinc，知

T

S

=xy，由點P、Q的定義知

1

2

≤x≤1，

1

2

≤y≤1，
且x=

1

2

時，y=1；x=1時，y=

1

2

．此時，均有

T

S

=

1

2

．x=

2

3

時，y=

2

3

．此時，均有

T

S

=

4

9

．得到

T

S

的范圍為[

4

9

，

1

2

]在根據（2）知y=

x

3x-1

進行作差證明即可

解答：解：（1）

OG

=

OP

+

PG

=

OP

+λ

PQ

=

OP

+λ(

OQ

-

OP

)=(1-λ)

OP

+λ

OQ

（2）一方面，由（1），得

OG

=(1-λ)

OP

+λ

OQ

=(1-λ)x

OA

+λ y

OB

；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

(

OA

+

OB

)=

1

3

OA

+

1

3

OB

．②
而

OA

、

OB

不共線，∴由①、②，
得

(1-λ)x= 1 3 λ y= 1 3 .

解之，得

1 x =3-3λ 1 y =3λ.

，
∴

1

x

+

1

y

=3（定值）．
（3）

T

S

=

1 2 | OP |•| OQ |sin∠POQ

1 2 | OA |•| OB |sin∠AOB

=

| OP |

| OA |

•

| OQ |

| OB |

=xy．
由點P、Q的定義知

1

2

≤x≤1，

1

2

≤y≤1，
且x=

1

2

時，y=1；x=1時，y=

1

2

．
此時，均有

T

S

=

1

2

．x=

2

3

時，y=

2

3

．
此時，均有

T

S

=

4

9

．
以下證明：

4

9

≤

T

S

≤

1

2

．
由（2）知y=

x

3x-1

，
∵

T

S

-

4

9

=

x2

3x-1

-

4

9

=

(3x-2)2

9(3x-1)

≥0，
∴

T

S

≥

4

9

．
∵

T

S

-

1

2

=

x2

3x-1

-

1

2

=

(x-1)(2x-1)

2(3x-1)

≤0，
∴

T

S

≤

1

2

．
∴

T

S

的取值范圍[

4

9

 ， 

1

2

]．

點評：本題考查了向量的加減法，三角形的面積公式，作差法證明不等式，屬于基礎題．