Question

（1）證明：函數y=x³+x是R上的增函數；
（2）討論函數f（x）=

a+x

x

（a＞0）在定義域上的單調性并證明．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）通過求導得出導函數大于0，從而判斷函數的單調性；
（2）先求出函數的定義域，設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，通過討論自變量所在的區(qū)間，從而判斷函數的單調性．

解答： 證明：（1）∵y′=3x²+1＞0，
∴函數y=x³+x是R上的增函數；
（2）f(x)=

a+x

x

=

a

x

+

x

，x∈(0，+∞)，
設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(

a

x1

+

x1

)-(

a

x2

+

x2

)
=

a

x1

-

a

x2

+

x1

-

x2

=(

x2

-

x1

)(

a

x1x2

-1)，
∵0＜x₁＜x₂，∴

x2

＞

x1

，
當x1，x2∈(0，

a

)時，

a

x1x2

＞1，
∴

x2

-

x1

＞0，

a

x1x2

-1＞0，
得f（x₁）＞f（x₂），
當x1，x2∈(

a

，+∞)時，

a

x1x2

＜1，
∴

x2

-

x1

＞0，

a

x1x2

-1＜0，
得f（x₁）＜f（x₂），
綜上所述：f（x）在(0，

a

]上為減函數，在(

a

，+∞)上為增函數．

點評：本題考查了函數的單調性的判斷及證明問題，是一道基礎題．