Question

如圖，已知拋物線C的頂點在原點，焦點點為圓x²+y²-2x=0的圓心，
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設拋物線C上兩個動點A、B滿足|AF|+BF|=6線段AB的垂直平分線與x軸交于點M；
（1）求點M的坐標；
（2）當線段AB最長時，求△MAB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心坐標，則拋物線的焦點坐標可求，拋物線方程可求；
（Ⅱ）（1）設拋物線C上兩個動點A、B的坐標，由|AF|+BF|=6結合焦半徑可得AB的中點的坐標，把A、B的坐標代入拋物線方程，用點差法求得AB的斜率，則AB的垂直平分線方程可求，取y=0可得M點坐標；
（2）設出直線AB的方程，和拋物線方程聯(lián)立，化為關于x的一元二次方程，由AB的橫坐標的和為4求得斜率和截距的關系，再由弦長公式寫出AB的長，利用二次函數(shù)求得最值及取得最值時的k值，得到AB的方程，由點到直線的距離求得M到AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）把圓x²+y²-2x=0的方程化為：（x-1）²+y²=1，可知焦點坐標為（1，0），在x軸上，
那么拋物線方程為y²=2px，且

p

2

=1，則p=2，
∴拋物線C的方程是y²=4x；
（Ⅱ）（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y12=4x1，y22=4x2，
兩式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，即AB的斜率為

4

y1+y2

．
由|AF|+BF|=6，則x₁+x₂+2=6，
∴x₁+x₂=4．
∴AB的中點坐標為（2，

y1+y2

2

），
∴AB的垂直平分線方程為y-

y1+y2

2

=-

y1+y2

4

(x-2)，
取y=0，得x=4．
∴點M的坐標為（4，0）；
（2）由題意可設AB的直線方程為y=kx+m（k≠0），
聯(lián)立

y=kx+m y2=4x

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
△=（2km-4）²-4k²m²=16-8km．
x1+x2=

4-2km

k2

=4，x1x2=

m2

k2

．
由

4-2km

k2

=4，得m=

2-2k2

k

．
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

16-4• m2 k2

=

1+k2

16k2-4 (2-2k2)2 k2 k2

=4

- 1 k4 + 1 k2 +2

．
∴當

1

k2

=

1

2

，即k²=2時，|AB|有最大值為6．
此時AB的方程為：y=

2

x-

2

或y=-

2

x+

2

．
則M到直線AB的距離為d=

|4 2 - 2 |

3

=

6

．
∴S△AMB=

1

2

×6×

6

=3

6

．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．