Question

13．如圖所示，有一塊半徑長為1米的半圓形鋼板，現要從中截取一個內接等腰梯形部件ABCD，設梯形部件ABCD的面積為y平方米．
（I）設CD=2x（米），將y表示成x的函數關系式；
（II）求梯形部件ABCD面積y的最大值．

Answer 1

分析 如圖所示，以直徑AB所在的直線為x軸，線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，過點C作CE⊥AB，
（I）由CD的長表示出OE的長，利用勾股定理表示出CE的長，利用梯形面積公式表示出y與x的函數關系式，并求出x的范圍即可；
（II）把表示出y與x的關系式變形，令被開方數等于t，求出導函數t′，根據導函數的正負確定出函數的增減性，進而求出y的最大值即可．

解答 解：如圖所示，以直徑AB所在的直線為x軸，線段AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，過點C作CE⊥AB，
（I）∵CD=2x，
∴OE=x（0＜x＜1），CE=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴y=$\frac{1}{2}$（|AB|+|CD|）•CE=$\frac{1}{2}$（2+2x）$\sqrt{1-{x}^{2}}$=（x+1）$\sqrt{1-{x}^{2}}$（0＜x＜1）；

（II）y=$\sqrt{（x+1）^{2}（1-{x}^{2}）}$=$\sqrt{-{x}^{4}-2{x}^{3}+2x+1}$，
令t=-x⁴-2x³+2x+1，
則t′=-4x³-6x²+2=-2（2x³+3x²-1）=-2（x+1）²（2x-1），
令t'=0，得到x=$\frac{1}{2}$或x=-1（舍），
∴當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，t'＞0，
∴函數在（0，$\frac{1}{2}$）上單調遞增，
當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，t'＜0，
∴函數在（$\frac{1}{2}$，1）上單調遞減，
當x=$\frac{1}{2}$時，t有最大值$\frac{27}{16}$，y_max=$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
答：梯形部件y'=0面積的最大值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$平方米．

點評 此題考查了函數模型的選擇與應用，熟練掌握導數在函數增減性中的應用是解本題的關鍵．