Question

1．定義在（-∞，0）上的可導函數(shù)f（x）的導數(shù)為f'（x），且有xf'（x）-2f（x）＞x²，若f（m+2015）-（m+2015）²f（-1）＞0，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-2016，0）
• B． （-∞，-2017）
• C． （-∞，-2016）
• D． （-2016，-2015）

Answer 1

分析 對不等式xf′（x）-2f（x）＞x²兩邊同除以-x³便可據(jù)條件得出$（\frac{f（x）}{{x}^{2}}）′＞0$，從而判斷出函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$在（-∞，0）上單調(diào)遞增，這樣可由不等式f（m+2015）-（m+2015）²f（-1）＞0得出F（m+2015）＞F（-1），這樣根據(jù)F（x）的定義域及單調(diào)性即可求出m的取值范圍．

解答 解：由xf′（x）-2f（x）＞x²（x＜0）得，
$\frac{xf′（x）-2f（x）}{-{x}^{3}}＞-\frac{1}{x}＞0$；
∴$（\frac{f（x）}{{x}^{2}}）′＞0$；
設F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，則F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
由f（m+2015）-（m+2015）²f（-1）＞0得，$\frac{f（m+2015）}{（m+2015）^{2}}＞f（-1）$；
即$\frac{f（m+2015）}{（m+2015）^{2}}＞\frac{f（-1）}{（-1）^{2}}$；
∴F（m+2015）＞F（-1）；
∴-1＜m+2015＜0；
∴-2016＜m＜-2015；
∴m的取值范圍是（-2016，-2015）．
故選D．

點評 考查通過構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)問題的方法，以及函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，商的導數(shù)的計算公式，以及不等式的性質(zhì)．