Question

9．己知數(shù)列{log₂（a_n-1）}為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$的值．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{log₂（a_n-1）} 公差d=log₂4-log₂2=1，從而${log}_{2}\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=1，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是以2為底，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
（2）由${a}_{n}={2}^{n}+1$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此能求出$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$的值．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{log₂（a_n-1）}為等差數(shù)列，a₁=3，a₂=5．
設(shè)數(shù)列{log₂（a_n-1）} 公差為d，
∴d=log₂4-log₂2=1，
∴l(xiāng)og₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=${log}_{2}\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=2，a₁-1=2，
∴數(shù)列{a_n-1}是以2為底，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
（2）∵數(shù)列{a_n-1}是以2為底，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2ⁿ，∴${a}_{n}={2}^{n}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．