Question

數(shù)列

αn

中，α₁=6，且α_n-α_n-1=

αn-1

n

+n+1（n∈N⁺，n≥2），則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n

=（n+1）（n+2）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，進(jìn)而歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明標(biāo)準(zhǔn)，驗(yàn)證n=1時(shí)成立，假設(shè)n=k是成立，證明n=k+1時(shí)等式也成立即可．

解答：解：由α₁=6，且α_n-α_n-1=

αn-1

n

+n+1（n∈N⁺，n≥2），
得：a₂-a₁=

a1

2

+2+1⇒a₂=12=3×4；
同理可得：a₃=20=4×5；
a₄=30=5×6；
猜想：a_n=（n+1）（n+2）
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2×3=6左邊=1²=1，成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即a_k=（k+1）（k+2）
那么，當(dāng) n=k+1時(shí)，
a_k+1=a_k+

ak

k+1

+（k+1）+1=（k+1）（k+2）+

(k+1)(k+2)

k+1

+（k+1）+1=（k+2）（k+3）；
就是說，當(dāng) n=k+1時(shí)等式也成立．----------------------（13分）
綜上所述，對(duì)任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案為：（n+1）（n+2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，歸納推理推出猜想是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，必須用上假設(shè)．