Question

 (本小題滿分12分) 如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若不過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，

且求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ，

圓的圓心為,半徑. --------------------1分

由,得直線,即,------------2分

由直線與圓相切,得, 或(舍去). ----------3分

當(dāng)時(shí), ,  故橢圓的方程為-------------------4分

（Ⅱ）(解法一)由知,從而直線與坐標(biāo)軸不垂直, -------5分

由可設(shè)直線的方程為，直線的方程為. --6分

將代入橢圓的方程并整理得: ,

解得或,因此的坐標(biāo)為,

即

將上式中的換成,得.

直線的方程為------------------10分

化簡得直線的方程為，------------------11分

因此直線過定點(diǎn).------------------12分

(解法二)若直線存在斜率，則可設(shè)直線的方程為：，代入橢圓的方程并整理得: ,   -------5分

由與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則是上述關(guān)于的方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，從而

   ------6分

由得

，

整理得： 由知.

此時(shí), 因此直線過定點(diǎn).      10分

若直線不存在斜率，則可設(shè)直線的方程為：，

將代入橢圓的方程并整理得: ,

當(dāng)時(shí), ,直線與橢圓不相交于兩點(diǎn)，這與直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)產(chǎn)生矛盾!

當(dāng)時(shí), 直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，從而

但,這與產(chǎn)生矛盾!

因此直線過定點(diǎn).-------12分