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在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AA1=2，數(shù)學公式，數(shù)學公式，且此三棱柱的各頂點都在一個球面上，則球的體積為________．


分析：根據(jù)題意并結(jié)合空間線面垂直的性質(zhì)，可得三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心是上下底面斜邊中點的連線段PQ的中點．在直角Rt△POB中，利用勾股定理算出BO的長，即得外接球半徑R的大小，再用球的體積公式即可算出所求外接球的體積．
解答：直三棱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，（如圖），
∵△ABC中，，
∴下底面△ABC的外心P為BC的中點，
同理，可得上底面△A1B1C1的外心Q為B1C1的中點，
連接PQ，則PQ與側(cè)棱平行，所以PQ⊥平面ABC
再取PQ中點O，可得：點O到A、B、C、A1、B1、C1的距離相等，
∴O點是三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心
∵Rt△POB中，BP==，PQ=AA1=1，
∴BO==2，即外接球半徑R=2，
因此，三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球的體積為：
V=πR3═π×23=．
故答案為：
點評：本題給出特殊的直三棱柱，求它的外接球的體積．著重考查了線面垂直的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球體積的公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示，其中主視圖AA1B1B和左視圖B1BCC1均為矩形，在俯視圖△A1B1C1中，A1C1=3，A1B1=5，cos∠A1=
35
．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：BC⊥AC1；
（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是底邊AB的中點，求證：AC1∥平面CDB1．
（3）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
5
，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O．
（1）求點C到平面A1ABB1的距離；
（2）求二面角A-BC1-B1的余弦值；
（3）若M，N分別為直線AA1，B1C上動點，求MN的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=
5
，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O．
（1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長；
（2）求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•北京）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC1上存在點D，使得AD⊥A1B，并求
BDBC1
的值．

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