Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．

(Ⅰ)證明：PB∥平面EAC；

(Ⅱ)求證：AE⊥平面PCD；

(Ⅲ)若AD＝AB，試求二面角A－PC－D的正切值；

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)連結交于，連結，則，且， 　　又平面，平面，∴PB∥平面EAC．　　　　4分; 　　(Ⅱ) 　　正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，， 　　又，所以，AE⊥平面PCD．　　8分; 　　(Ⅲ)在PC上取點M使得． 　　由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以 　　所以，在等腰直角三角形DPC中，， 　　連接，因為AE⊥平面PCD，所以，． 　　所以，為二面角A－PC－D的平面角． 　　在中，． 　　即二面角A－PC－D的正切值為　　　　　　　　14分 　　證法二： 　　(Ⅰ)設N為AD中點，Q為BC中點，則因為PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，，又因為側面PAD⊥底面ABCD，所以，，． 　　以N為坐標原點，NA、NQ、NP所在直線分別為軸建立空間直角坐標系．設，，則，，，，，．∴， 　　，∴，又平面， 　　平面，∴PB∥平面EAC．　　　　　　　　　　　　　　4分; 　　(Ⅱ)，，， 　　， 　　所以，． 　　又，，所以，AE⊥平面PCD．　　　8分; 　　(Ⅲ)當時，由(2)可知：是平面PDC的法向量； 　　設平面PAC的法向量為，則，，即 　　，取，可得：．所以，． 　　向量與所成角的余弦值為：． 　　所以，tanq ＝． 　　又由圖可知，二面角A－PC－D的平面角為銳角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量與所成角的補角．其正切值等于．　　　　　14分