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如圖，在四棱錐中，PA⊥底面ABCD，∥，∠=90°，，是的中點.

（1）求證：⊥；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）試探究線段上是否存在一點，使得∥面?若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．

解：（1）不妨令BC＝1，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）

所以M（1，，1），，.

因為,  所以. 

（2）設平面PCD的法向量為＝(x，y，z),

由    .           

而平面PAB的法向量為,

∴cos＜,＞=.

∴所求二面角的余弦值為.

（3）假設線段PB上存在一點Q，有,

. 

若AQ平行平面PCD，則,

即.

所以，這與矛盾.

故不存在這樣的點Q，使得AQ∥平面PCD.  

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(08年莆田四中二模文)（12分）如圖，在四棱錐中，

底面為直角梯形，∥，，⊥平面，，，.

（1）求證：⊥；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(08年莆田四中一模理)（12分）

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，⊥底面，是上一點.已知= ，，=

  （1）求證，⊥平面；

  （2）求二面角的大小.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(08年石景山區(qū)統(tǒng)一測試)（14分）

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，、分別是、的中點.

    （Ⅰ）求證：；

    （Ⅱ）求二面角的大小；

    （Ⅲ）在平面內求一點，使⊥平面，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年浙江省高三第一次月考理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面，，，，

．

（1）若E是PC的中點，證明：平面；

（2）試在線段PC上確定一點E，使二面角P- AB- E的大小為，并說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆福建省高一第一學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，， 分別是的中點．

（1）求四棱錐P-ABCD的體積

（2）求證：平面平面；

（3）在線段上確定一點，使平面，并給出證明；

 

 

 

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