Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c為實(shí)常數(shù)） 
（Ⅰ）當(dāng)b=0，c=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，
（�。┤艉瘮�(shù)f（x）無極值點(diǎn)且f′（x）存在零點(diǎn)，求a，b，c的值；
（ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明f（x）的極小值小于-

3

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分類討論求解：當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；令f′（x）＜0時(shí)，
（2）根據(jù)函數(shù)的切線的性質(zhì)求解，列方程即可．（3）根據(jù)函數(shù)極值的判斷，多次求導(dǎo)判斷，根據(jù)單調(diào)性，切點(diǎn)極值點(diǎn)，來解決．

解答： 解：（1當(dāng)b=0，c=1時(shí)，f（x）=x²+lnx，定義域是（0，+∞），
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間，
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；令f′（x）＜0時(shí)，
解得x＞

- 1 2a

，∴f（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間是（0，

- 1 2a

），單調(diào)遞減區(qū)間（

- 1 2a

，+∞），
綜上當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間是（0，

- 1 2a

），單調(diào)遞減區(qū)間（

- 1 2a

，+∞），
（2）（i）曲線y=f（x）（其中a＞0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，
f′（x）=2ax+b+

c

x

，
斜率k═f′（1）=2a+b+c=3，
由點(diǎn)（1，f（1））在y=3x-3上，
∴f（1）=3-3=0，
∴f（1）=a+b+cln1=a+b=0，
即b=-a，c=3-a，
則f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，
f′（x）=

2ax2-ax+3-a

x

當(dāng)F（x）無極值點(diǎn)且f′（x）存在零點(diǎn)時(shí)，則方程f′（x）=

2ax2-ax+3-a

x

=0，
即關(guān)于的方程2ax²-ax+3-a=0
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，（a＞0），∴△=a²-8a（3-a）=0，解得a=

8

3

，b=-a=-

8

3

，c=3-a=

1

3

，即a=

8

3

，b=-

8

3

，c=

1

3

，
（ii）由f′（x）=

2ax2-ax+3-a

x

（x＞0）
要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，只要方程
2ax²-ax+3-a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

時(shí)兩正根為x₁，x₂，x₁＜x₂，∴△=a²-8a（3-a）＞0，（a＞0），
解得：a＞

8

3

，∴x₁=

1

4

-

1

4

9- 24 a

＞0，x₂=

1

4

+

1

4

9- 24 a

，∴

8

3

＜a＜3，
∴0＜x1＜

1

4

，

1

4

＜x₂＜

1

2

，
∴當(dāng)

1

4

＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0時(shí)，
當(dāng)x₂＜x＜

1

2

時(shí)，f′（x）＞0時(shí)，
∴當(dāng)x=x₂時(shí)，有極小值f（x₂），
由2ax

2 2

-ax₂+3=0，得：a=

-3

2 x 2 2 -x2-1

，
∴f（x₂）=ax₂²-ax₂+（3-a）lnx₂=a（x

2 2

-ax₂-lnx₂）+3lnx₂
=3lnx₂-

3( x 2 2 -x2-lnx2)

2 x 2 2 -x2-1

，

1

4

＜x₂＜

1

2

，
而f′（x）=

3(4x2-1)( x 2 2 -x2-lnx2)

(2 x 2 2 -x2-1)

，
即g（x）=x²-x-lnx，（

1

4

＜x≤1），有g(shù)′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

對(duì)于x∈（

1

4

，1]恒成立，
又g（1）=0，故對(duì)x∈（

1

4

，

1

2

），恒有g(shù)（x）＞g（1），
即g（x）＞0，∴f′（x）＞0，對(duì)于

1

4

＜x₂＜

1

2

，恒成立．
即f（x₂）在（

1

4

，

1

2

）上單調(diào)遞增
∴f（x₂）＜f(

1

2

)=-

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間，最值，不等式恒成立問題中的綜合應(yīng)用，屬于難題．