Question

（本小題滿分14分）

已知

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）判斷并證明的奇偶性與單調性;

（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）則；（2）函數為奇函數。證明見解析。

（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用換元法：令t=log_ax⇒x=a^t，代入可得f（t）從而可得函數f（x）的解析式

（2）由（1）得f（x）定義域為R，可求函數的定義域，先證奇偶性：代入f（-x）=-f(x)，從而可得函數為奇函數。再證單調性：利用定義任取x₁＜x₂，利用作差比較f（x₁）-f（x₂）的正負，從而確當f（x₁）與f（x₂）的大小，進而判斷函數的單調性

（3）根據上面的單調性的證明以及定義域得到不等式的求解。

解：（1）令

則  ………3分

（2）

∴函數為奇函數。                         ………5分

當，任取

－

==

=

，

類似可證明當，綜上，無論，上都是增函數。                                                                ………9分

（3）不等式化為

∵上都是增函數，∴恒成立

即對恒成立，∴

故的取值范圍．                               ………14分

考點：本試題主要考查了函數性質的三點：①利用換元法求函數的解析式，這是求函數解析式中最為重要的方法，要注意掌握，解答此類問題的注意點：換元后要確定新元的范圍，從而可得所要求的函數的定義域②函數奇偶性的判斷。

點評：解題的關鍵是利用奇偶性的定義③利用定義判斷函數單調性的步驟（i）任設x₁＜x₂（也可x₁＞x₂）（ii）作差f（x₁）-f（x₂）（iii）定號，給出結論．