Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]

已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m＞0，n＞0且m+n=1，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，
∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，
∴a2﹣2a﹣1≤2，
∴a2﹣2a﹣3≤0，
∴﹣1≤a≤3；
（Ⅱ）要證： 成立，
只需證 ，
兩邊平方，整理即證（2m+1）（2n+1）≤4，
即證mn≤ ，
又m+n=1，
∴mn≤ = ．
故原不等式成立
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）要證： 成立，只需證 ，利用分析法的證明步驟，結(jié)合基本不等式證明即可．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法和不等式的證明對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．