Question

3．下列命題為真命題的是（　�。�

• A． 已知x，y∈R，則$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充要條件
• B． 當0＜x≤2時，函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$無最大值
• C． ?a，b∈R，$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$
• D． ?x∈R，sinx+cosx=$\frac{7}{5}$

Answer 1

分析 A利用充分條件和必要條件的定義進行判斷
B利用函數(shù)的單調(diào)性進行判斷
C根據(jù)基本不等式成立的條件進行判斷
D根據(jù)三角函數(shù)的有界性進行判斷

解答 解：A．當x=4，y=1，滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$，但$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$不成立，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞2}\end{array}\right.$不是$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{xy＞2}\end{array}\right.$的充要條件，故A錯誤，
B．當0＜x≤2時，函數(shù)y=x-$\frac{1}{x}$為增函數(shù)，則當x=2時，函數(shù)取得最大值，故B錯誤，
C．當a，b＜0時，$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$不成立，故C錯誤，
D．sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∵$\frac{7}{5}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，∴?x∈R，sinx+cosx=$\frac{7}{5}$，故D正確，
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及充分條件和必要條件，函數(shù)單調(diào)性，基本不等式以及三角函數(shù)的真假判斷，知識點較多，綜合性較強，但難度不大．