Question

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點處的切線與直線平行．
(1)求的解析式；
(2)是否存在t∈N^*，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根？
若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）.
（2）存在唯一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根. 

解析試題分析：（1）根據(jù)是二次函數(shù)，及不等式的解集是，
可設(shè)，. 再根據(jù)函數(shù)在切點的斜率就是該點處的導(dǎo)函數(shù)值，可建立
方程，解得.
（2）首先由（1）知，方程等價于方程.
構(gòu)造函數(shù)，通過“求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)”明確函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過計算，
認(rèn)識方程有實根的情況.
試題解析：（1）∵是二次函數(shù)，不等式的解集是，
∴可設(shè)，.
∴.                                           2分
∵函數(shù)在點處的切線與直線平行，
∴.
∴，解得.
∴.                           5分
（2）由（1）知，方程等價于方程  6分
設(shè)，
則.                         7分
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.   9分
∵，
∴方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，在區(qū)間
內(nèi)沒有實數(shù)根.                  12分
∴存在唯一的自然數(shù)，使得方程
在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的根.      13分
考點：二次函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.