Question

（本題滿分12分）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)在棱上，  ,若∥平面，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先根據(jù)證明，再證明從而得證。

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】【方法一】（1）證明：由題意知 則

（4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.過作//交于過點(diǎn)作交于,則∠為直線與平面所成的角. 在Rt△中，∠，

∴，∴∠.即直線與平面所成角為（8分）

（3）連結(jié)，∵∥，

∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即（12分）

【方法二】如圖，在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF//AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）設(shè)，則，

∵，∴　　　 　�。�4分）

（2）由（1）知.

由條件知A（1，0，0），B（1，，0），

.設(shè)

則

即直線為.　　�。�8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），記P（0，0，a），則

，，，，

而，所以，

=

設(shè)為平面PAB的法向量，則，即，即.

 進(jìn)而得，

由,得∴

　（12分）