Question

已知數(shù)列{a_n]中，a₂=a+2（a為常數(shù)）；S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n是na_n與na的等差中項(xiàng)．
（1）求a₁、a₃；
（2）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（3）求證以（a_n，

Sn

n

-1）為坐標(biāo)的點(diǎn)P_n（n=1，2，3…）都落在同一直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n是na_n與na的等差中項(xiàng)．我們可能得到S_n、na_n與na的關(guān)系式，從n=1依次代入整數(shù)值，再結(jié)合a₂=a+2（a為常數(shù)），不難給出a₁，a₃；
（2）由a₁，a₂，a₃的值與n的關(guān)系，我們不難歸納推理出數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察到它們是與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，故可采用數(shù)學(xué)歸納法來證明．
（3）利用

( Sn n -1)-( S1 1 -1)

an-a1

是常數(shù)，證明以（a_n，

Sn

n

-1）為坐標(biāo)的點(diǎn)P_n（n=1，2，3…）都落在同一直線上．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）由已知得Sn=

nan+na

2

=

an+a

2

•n，
當(dāng)n=1時(shí)，
S₁=a₁則2a₁=a₁+a，
得a₁=a．
當(dāng)n=3時(shí)，S₃=a₁+a₂+a₃
則2（a₁+a₂+a₃）=3（a₃+a）
∴a₃=a+4
（2）由a₁=a、a₂=a+2、a₃=a+4，
猜想：a_n=a+2（n-1）
證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，
左邊=a₁=a，
右邊=a+2（1-1）=a，
則當(dāng)n=1時(shí)，等式成立，
當(dāng)n=2時(shí)，
左邊=a₂=a+2=右邊，
故當(dāng)n=2時(shí)，等式成立．
②假設(shè)n=K時(shí)，等式成立，
即a_K=a+2（K-1）則當(dāng)n=K+1時(shí)，
a_K+1=S_K+1-S_K=

ak+1+a

2

（k+1）-

ak+a

2

k
∴（k-1）a_K+1=ka_k-a
即a_K+1=

k

k-1

a_k-

a

k-1

將a_k=a+2（k-1）代入，得

ak+1= k k-1 [a+2(k-1)]- a k-1

=

(k-1)a+2k(k-1)

k-1

=a+2[(k+1)-1]
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由①②可知，對任何正整數(shù)n，
等式a_n=a+2（n-1）都成立．（10分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a+2（n-1），Sn=

an+a

2

•n=

2a+2(n-1)

2

•n=(a+n-1)•n
∴

Sn

n

=a+n-1∴(

Sn

n

-1)-(

S1

1

-1)=n-1又a_n-a₁=2（n-1）
∴

( Sn n -1)-( S1 1 -1)

an-a1

=

n-1

2(n-1)

=

1

2

故點(diǎn)P_n（n=1，2，3，…）都落在同一直線上．   （14分）

點(diǎn)評：本題（2）中的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．