Question

已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，當(dāng)n≥2時(shí)，an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）當(dāng)a=100，時(shí)，求數(shù)列{a_n}的前100項(xiàng)的和S₁₀₀；
（Ⅱ）證明：對(duì)于數(shù)列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3；
（Ⅲ）令bn=

an

2n-(-1)n

，當(dāng)2＜a＜3時(shí)，求證：

n

i=1

bi＜

20+a

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，由此能求出S₁₀₀．
（Ⅱ）當(dāng)0＜a₁≤3時(shí)，題意成立．當(dāng)a₁＞3時(shí)，a_n=a₁-3（n-1）．設(shè)a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．命題成立．當(dāng)a₁≤0時(shí)，a₂=4-a₁＞3，命題成立．由此能夠證明原命題成立．
（Ⅲ）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，由an=

a 4-a

(n為奇數(shù)) (n為偶數(shù))

，知bn=

an

2n-(-1)n

=

a 2n-(-1)n ，n為奇數(shù) 4-a 2n-(-1)n ，n為偶數(shù)

．因?yàn)閎_n＞0，所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可．由此能夠證明

2k-1

i=1

bi＜

2k

i=1

bi＜

20+a

12

．

解答：解：（Ⅰ）a=100時(shí)，
∵a₁=100，當(dāng)n≥2時(shí)，an=

an-1-3，(an-1＞3) 4-an-1，(an-1≤3)

，
∵a₁=100，a₂=97，…，a₃₃=4，a₃₄=1，a₃₅=3，a₃₆=1，a₃₇=3，…，a₁₀₀=1，
∴a=100時(shí)，
數(shù)列{a_n}的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，
從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，
從而S₁₀₀=

(100+97+94+…+4+1)

共34項(xiàng)

+

(3+1+…+3+1)

共66項(xiàng)

…（3分）
=

(100+1)×34

2

+(3+1)×

66

2

=1717+132=1849．…（5分）
（Ⅱ）證明：①若0＜a₁≤3，則題意成立…（6分）
②若a₁＞3，此時(shí)數(shù)列{a_n}的前若干項(xiàng)滿足a_n-a_n-1=3，
即a_n=a₁-3（n-1）．
設(shè)a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．
從而此時(shí)命題成立…（8分）
③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁＞3，
則由②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立．
綜上所述，原命題成立…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，
因?yàn)?span id="30ix9k9" class="MathJye">an=

a 4-a

(n為奇數(shù)) (n為偶數(shù))

，
所以bn=

an

2n-(-1)n

=

a 2n-(-1)n ，n為奇數(shù) 4-a 2n-(-1)n ，n為偶數(shù)

．…（11分）
因?yàn)閎_n＞0，
所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可．
而b2k-1+b2k=

a

22k-1+1

+

4-a

22k-1

=

a•22k-1+22k+1+(4-2a)

(22k-1+1)(22k-1)

＜

a•22k-1+22k+1

24k-1+22k-1-1

＜

a•22k-1+22k+1

24k-1

=

a+4

22k

…（13分）
①當(dāng)n=2k（k∈N^*，且k≥2）時(shí)，

2k

i=1

bi=b1+b2+

2k

i=3

bi＜

a

3

+

4-a

3

+(

a+4

22×2

+

a+4

22×3

+…+

a+4

22×k

)
=

4

3

+(a+4)×

1 24 (1-( 1 4 )k-1)

1- 1 4

=

4

3

+

(a+4)×(1-( 1 4 )k-1)

12

＜

4

3

+

a+4

12

=

20+a

12

．…（15分）
②當(dāng)n=2k-1（k∈N^*且k≥2）時(shí)，
由于b_n＞0，所以

2k-1

i=1

bi＜

2k

i=1

bi＜

20+a

12

．
綜上所述，原不等式成立…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．