Question

20．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧$\widehat{AC}$上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至E．
（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△ABC外接圓的面積．

Answer 1

分析 （1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到．
（2）求△ABC外接圓的面積．只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．

解答 （1）證明：如圖，設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn)，A?B?C?D四點(diǎn)共圓．
∴∠CDF=∠ABC，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF
對頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延長線平分∠CDE，…（4分）
（2）解：設(shè)O為外接圓圓心，連接AO比延長交BC于H，交⊙O于點(diǎn)M，連接OC，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AH⊥BC．
∴∠OAC=∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠COH=2∠OAC=30°，
設(shè)圓半徑為r，
則OH=OC•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∵△ABC中BC邊上的高為1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AH=OA+OH=r+$\frac{\sqrt{3}}{2}$r=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：r=1，
∴△ABC的外接圓的面積為：π（10分）

點(diǎn)評 此題主要考查圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外接圓的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．