Question

.已知函數(shù)（1）判定的單調(diào)性，并證明。

（2）設(shè)，若方程有實(shí)根，求的取值范圍。

（3）求函數(shù)在上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）當(dāng)x<-3時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上單調(diào)遞增

當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上單調(diào)遞減

當(dāng)x>3時(shí)，同理。（2）；（3）函數(shù)h(x)在[4,6]上的最為，最大值為h(4)=-2。

解析:

（1），當(dāng)x<-3時(shí)，任取x₁<x₂<-3

則-＝，

∵(x₁-3)(x₂+3)-(x₁+3)(x₂-3)=6(x₁-x₂)<0，

又（x₁-3）(x₂+3)>0且(x₁+3)(x₂-3)>0

∴<1

∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x₁)-f(x₂)<0，∴f(x)在()上單調(diào)遞增

當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x₁)-f(x₂)>0, ∴f(x)在()上單調(diào)遞減

當(dāng)x>3時(shí)，同理。

（2）若f(x)=g(x)有實(shí)根，即:

∴，∴方程有大于3的實(shí)根。

∴

＝

當(dāng)且僅當(dāng)，即“＝”號(hào)成立

∴。

（3），

由得x²-3x-4=0解得x₁=4,x₂=-1（舍去）

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

∴函數(shù)h(x)在[4,6]上的最為，最大值為h(4)=-2。