Question

已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

  （Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

  （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)，是前項(xiàng)和，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）時, , 時；（2）見解析.

【解析】.本題是對函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合考查。第一問只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論與的大小研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求得最值；第二問利用第一問的單調(diào)性與最值把數(shù)列求和與不等式的問題轉(zhuǎn)化求解，有一定的難度。

解：(1)          

        若時,   函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)  ;

      時  函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù),是增函數(shù) ;

綜上所述  時, , 時(6分)

 (2)由（1）可知，時，函數(shù)在定義域的最小值為0，

       在上成立

 令得 

 令

 .