Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)以F₁(0,-)和F₂(0,)為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與x、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量=.

求：（1）點(diǎn)M的軌跡方程；

（2）||的最小值.

Answer 1

解：(1)橢圓方程可寫(xiě)為=1,式中a＞b＞0,且得a²=4,b²=1,所以曲線C的方程為x²+=1(x＞0,y＞0).

y=(0＜x＜1),y′=-，

設(shè)P(x₀,y₀),因P在C上,有0＜x₀＜1,y₀=,y′|_x=x0=-,得切線AB的方程為y=- (x－x₀)+y₀.設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x=,y=.

由=得M的坐標(biāo)為(x,y),

由x₀,y₀滿足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為=1(x＞1,y＞2).

(2)∵||²=x²+y²,y²==4+,∴||²= x²-1++5≥4+5=9.

且當(dāng)x²-1=,即x=＞1時(shí),上式取等號(hào).故||的最小值為3.