Question

7．某商場周年慶，準(zhǔn)備提供一筆資金，對消費滿一定金額的顧客以參與活動的方式進行獎勵，顧客從一個裝有大小相同的2個紅球和4個黃球的袋中按指定規(guī)則取出2個球，根據(jù)取到的紅球數(shù)確定獎勵金額，具體金額設(shè)置如下表：

取到的紅球數(shù)	0	1	2
獎勵（單位：元）	5	10	50

現(xiàn)有兩種取球規(guī)則的方案：
方案一：一次性隨機取出2個球；
方案二：依次有放回取出2個球．
（1）比較兩種方案下，一次抽獎獲得50元獎金概率的大小；
（2）為使得盡可能多的人參與活動，作為公司負(fù)責(zé)人，你會選擇哪種方案？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）記在方案一下一次抽獎獲得的獎金為隨機變量ξ，在方案二下一次抽獎獲得的獎金為隨機變量η，方案二中，從6個球中任取一球，恰是紅球的概率p=$\frac{1}{3}$，利用古典概型求出P（ξ=50），利用相互獨立事件概率乘法公式求出P（η=50），由P（ξ=50）＜P（η=50），得到第二種方案一次抽獎獲得50元獎金概率更大．
（2）求出選擇方案一時的數(shù)學(xué)期望E（ξ）和選擇方案二時的數(shù)學(xué)期望E（η），由E（ξ）＜E（η），作為公司負(fù)責(zé)人應(yīng)選擇方案一才能使盡可能多的人參與活動．

解答 解：（1）記在方案一下一次抽獎獲得的獎金為隨機變量ξ，
在方案二下一次抽獎獲得的獎金為隨機變量η，
方案二中，從6個球中任取一球，恰是紅球的概率p=$\frac{1}{3}$，
則P（ξ=50）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（η=50）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
∵P（ξ=50）＜P（η=50），
∴第二種方案一次抽獎獲得50元獎金概率更大．
（2）方案一：
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=10）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=50）=$\frac{1}{15}$，
E（ξ）=$\frac{2}{5}×5+\frac{8}{15}×10+\frac{1}{15}×50$=$\frac{32}{3}$，
方案二：
P（η=5）=（1-$\frac{1}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，
P（η=10）=${C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（η=50）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
E（η）=$\frac{4}{9}×5+\frac{4}{9}×10+\frac{1}{9}×50=\frac{110}{9}$，
E（ξ）＜E（η），作為公司負(fù)責(zé)人應(yīng)選擇方案一才能使盡可能多的人參與活動．

點評 本題考查概率、離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．