Question

設(shè)函數(shù).

（1）若，且，求的值；

（2）若，記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，求時的的取值范圍；

（3）判斷是否存在大于１的實數(shù)，使得對任意，都有滿足等式：，且滿足該等式的常數(shù)的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）;(2)；（3）.

【解析】

試題分析：（1）代入求解即可；（2）討論二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系取得最大值與最小值，再解關(guān)于的不等式即可；（3）將問題轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，利用唯一性求解.

解題思路:當(dāng)二次函數(shù)的系數(shù)含有字母時，求其值域要分類討論，討論它的開口方向、對稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系.

試題解析：（1），，解得；

若，則的開口向上，對稱軸方程為；

當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，則，即（舍）；

當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，則，即（舍）；

當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

則，即，解得，即；

當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

則，即，解得，即；

綜上所述，；

由，得，由題意，得，

即，即，即，因為滿足該等式的常數(shù)的取值唯一，所以，解得.

考點：1.對數(shù)的運算；2.二次函數(shù)的值域；3.分類討論思想.