Question

已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項a₂k-1,a₂k是關(guān)于x的方程x²-(3k+2^k)x+3k·2^k=0的兩個根,且a₂k-1≤a₂k(k=1,2,3,…).

(1)求a₁,a₃,a₅,a₇;

(2)求數(shù)列{a_n}的前2n項和S₂n;

(3)記f(n)=(+3),T_n=+++…+,求證:≤T_n≤ (n∈N^*).

Answer 1

解:(1)方程x²-(3k+2^k)x+3k·2^k=0的兩個根為x₁=3^k,x₂=2^k.

當k=1時,x₁=3,x₂=2,∴a₁=2.

當k=2時,x₁=6,x₂=4,∴a₃=4.

當k=3時,x₁=9,x₂=8,∴a₅=8.

當k=4時,x₁=12,x₂=16,∴a₇=12.

(2)S_2n=a₁+a₂+…+a_2n=(3+6+…+3n)+(2+2²+…+2ⁿ)=+2ⁿ⁺¹-2.

(3)T_n=++…+,

∴T₁==,T₂=.

當n≥3時,

T_n=++…≥≥+-(+…+)

≥+(+…+)=+＞.

同時T_n=+…+≤+(+…+)

≤+(+…+)=＜.

綜上所述,當n∈N^*時,≤T_n≤.