Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于半徑為1的球，則當該棱柱體積最大時，高h=

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于半徑為1的球，該棱柱的高為h，則球心到正三棱柱底面ABC的距離的關系式，進而根據(jù)底面圓的半徑r，球心距d，球半徑R滿足勾股定理，可得r，再由等邊三角形外接圓半徑與邊長的關系，可得底面邊長a，進而得到底面面積，和棱柱的體積，利用導數(shù)法可得該棱柱體積最大時，高h的值．

解答： 解：設該棱柱的高為h，
由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁內(nèi)接于半徑為1的球，
可得球心到正三棱柱底面ABC的距離d=

1

2

h
則正三棱柱底面ABC的底面半徑r=

1-d2

=

1- 1 4 h2

則正三棱柱底面ABC的底面邊長a=

3

r=

2=3- 3 4 h2

則正三棱柱底面ABC的底面面積S=

3

4

a²=

3 3

4

-

3 3

16

h²
則正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=

1

3

Sh=

3

4

h-

3

16

h³
則V′=

3

4

-

3 3

16

h²
令V′=0，則h=

2 3

3

故當該棱柱體積最大時，高h=

2 3

3

．
故答案為：

2 3

3

．

點評：本題考查球內(nèi)接多面體的體積的求法，解答本題的關鍵是熟練掌握底面半徑r，球心距d，球半徑R構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，及正三角形邊長，面積，外接圓半徑之間的關系．