Question

20．以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位，已知點N的極坐標為（2，$\frac{π}{2}$），M是曲線C：p²•（cos²θ-sin²θ）+1=0上任意一點，點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，設點P的軌跡為曲線Q．
（1）求曲線Q的直角坐標方程；
（2）若直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線Q的交點為A、B，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）點N的極坐標為（2，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標（0，2）．曲線C：p²•（cos²θ-sin²θ）+1=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$化為直角坐標方程．設P（x，y），M（x₁，y₁），由點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=y-2}\end{array}\right.$．代入M的直角坐標方程即可得出．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為y-2=$\sqrt{3}$（x+2），代入曲線Q方程即可得出．

解答 解：（1）點N的極坐標為（2，$\frac{π}{2}$），化為直角坐標（0，2）．
曲線C：p²•（cos²θ-sin²θ）+1=0，化為直角坐標方程：x²-y²+1=0．
設P（x，y），M（x₁，y₁），∴${x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}$=1．（*）
∵點P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}}\\{y=2+{y}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=y-2}\end{array}\right.$．
代入（*）可得：x²-（y-2）²+1=0，即可得出點P的軌跡曲線Q．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-t}\\{y=2-\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為y-2=$\sqrt{3}$（x+2），
代入x²-（y-2）²+1=0，化為2x²+12x+11=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=-6，x₁x₂=$\frac{11}{2}$．
則|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{4×（{6}^{2}-4×\frac{11}{2}）}$=2$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、向量坐標運算、直線與曲線相交弦長問題、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．