Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=x²-2x+2．
（1）求f（x）在R上的解析式；
（2）設(shè)g（x）=f（2^x）+2m-1（m∈R），若對任意x∈R，都有g(shù)（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)x＜0，從而有-x＞0，這便可得到f（-x）=x²+2x+2=-f（x），這便可得到x＜0時f（x）的解析式，而f（0）=0，從而便可寫出f（x）在R上的解析式；
（2）2^x＞0，從而可得到g（x）=（2^x）²-2•2^x+2m+1≥0恒成立，可設(shè)2^x=t，t＞0，這便可得到m$≥-\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}$，t＞0，恒成立，而$-\frac{{t}^{2}}{2}+t-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}≤0$，從而有m≥0，這便得出了實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，-x＞0，則：
f（-x）=x²+2x+2=-f（x）；
∴f（x）=-x²-2x-2；
又f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}-2x-2，（x＜0）\\ 0，（x=0）\\{x^2}-2x+2，（x＞0）\end{array}\right.$；
（2）由題意g（x）=（2^x）²-2•2^x+2m+1≥0恒成立，設(shè)2^x=t，t＞0；
∴t²-2t+2m+1≥0恒成立；
∴$m≥-\frac{t^2}{2}+t-\frac{1}{2}（t＞0）$恒成立，而$y=-\frac{t^2}{2}+t-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}≤0$；
∴m≥0；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，+∞）．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，對于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的解析式，求其對稱區(qū)間上解析式的方法，奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時，原點(diǎn)處的函數(shù)值為0，以及指數(shù)函數(shù)的值域，配方求二次函數(shù)范圍的方法．