Question

【題目】已知圓,圓,動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

(2)過點 作圓的兩條切線，切點分別為，求直線被曲線截得的弦的中點坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）已知動圓P與圓M外切，與圓N內(nèi)切，利用圓心距和半徑的關(guān)系得到P到M和P到N的距離之和為定值，符合橢圓定義，從而求得曲線的方程；

（2）先求直線AB，聯(lián)立直線與橢圓方程，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得相交弦的中點坐標(biāo).

（1）由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑;圓N的圓心為N(1,0),半徑.

設(shè)動圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以

.

根據(jù)橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點的橢圓(左長軸端點除外),

即，橢圓方程為.

（2）過點 作圓的兩條切線，切點分別為，如下圖：

，以為圓心，為半徑的圓與圓公共弦所在直線AB，

聯(lián)立曲線與直線可得，，

設(shè)交點，則，

所以中點的橫坐標(biāo)為，代入得中點的縱坐標(biāo)為，

所求中點坐標(biāo)為