Question

（本題滿分12分）

定義：若一個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都是另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)列是另一個(gè)數(shù)列的子數(shù)列。已知是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和．

（Ⅰ）若（是大于的正整數(shù)），求證：；

（Ⅱ）若（是某個(gè)正整數(shù)），求證：是整數(shù)，且數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列.

Answer 1

（本題滿分12分）

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題設(shè)得，，且．

由得，所以，

．

故等式成立．

（2）（�。┳C明為整數(shù)：

由得，即，

移項(xiàng)得．

因，，得，故為整數(shù)．

（ⅱ）證明數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)：

設(shè)是數(shù)列中的任一項(xiàng)，只要討論的情形．

令，即，

得．

因，當(dāng)時(shí)，，為或，則為或；

而，否則，矛盾．

當(dāng)時(shí)，為正整數(shù)，所以為正整數(shù)，從而．

故數(shù)列中的每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)．即數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列.