Question

【題目】已知函數(shù)的定義域是的一切實(shí)數(shù)，對定義域內(nèi)的任意，都有且當(dāng)時(shí)，.

（1）求證：是偶函數(shù)；

（2）求證：在上是增函數(shù)；

（3）試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意和式子的特點(diǎn)，先令x1＝x2＝1求出f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，求出f（﹣1）＝0，再令x1＝﹣1，x2＝x求出f（﹣x）＝f（x），則證出此函數(shù)為偶函數(shù)；

（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所給的式子進(jìn)行作差變形，利用x2和且0，判斷符號并得出結(jié)論；

（3）利用奇偶性與單調(diào)性比較大小即可.

解：（1）由題意知，對定義域內(nèi)的任意x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），

令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0，

令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0，

令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），

∴f（x）是偶函數(shù)；

（2）設(shè)x2＞x1＞0，則

∵x2＞x1＞0，∴，∴0，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；

（3）∵f（x）是偶函數(shù)，∴，

又f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且，

∴，

即.