Question

（04年湖南卷）（12分）

如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為，證明；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB是方程是，過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線(xiàn)在點(diǎn)A處共同的切線(xiàn)，求圓C的方程。

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為 代入拋物線(xiàn)方程得   

     ①

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以     

由點(diǎn)P（0，m）分有向線(xiàn)段所成的比為，

得

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.

               

               

所以 

（Ⅱ）由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.

由   得

所以?huà)佄锞�(xiàn) 在點(diǎn)A處切線(xiàn)的斜率為

設(shè)圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是 

即