Question

（04年湖南卷）（12分）

如圖，過拋物線的對稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)。

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明；

（Ⅱ）設(shè)直線AB是方程是，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線，求圓C的方程。

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得   

     ①

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x₂是方程①的兩根.

所以     

由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，

得

又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.

               

               

所以 

（Ⅱ）由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.

由   得

所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為

設(shè)圓C的方程是

則

解之得

所以圓C的方程是 

即