Question

【題目】已知圓與圓相外切，且與直線相切．

（1）記圓心的軌跡為曲線，求的方程；

（2）過點(diǎn)的兩條直線與曲線分別相交于點(diǎn)和，線段和的中點(diǎn)分別為.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線定義可知圓心的軌跡為拋物線，進(jìn)而可得其軌跡方程.

（2）由題意可設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，表示出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程即可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；即可表示出直線的斜率及其方程，進(jìn)而得所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）依題意等于到直線的距離，

故所求軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線.

故其軌跡的方程為.

（2）依題意直線斜率都存在且均不為，

故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.

直線的方程為，

即為.

由消去整理得，

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

以代替點(diǎn)坐標(biāo)中的，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以直線的斜率，

所以直線的方程為，

即.

故經(jīng)過定點(diǎn).