Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點；
②若m≥-1，則函數y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域為R；
③若f′（x₀）=0，則函數y=f（x）在x=x₀處取得極值；
④“a=1”是“函數f（x）=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①根據函數零點的判斷條件即可得到結論．
②根據對數函數的性質即可得到結論．
③根據函數極值的定義和導數之間的關系即可得到結論．
④根據函數奇偶性的定義以及充分條件和必要條件即可得到結論．

解答： 解：①函數f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）單調遞增，
∵f（1）=1-2=-1＜0，f（e）=lne-2+e=e-1＞0，
∴函數f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點，故①正確；
②要使函數y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域為R，則函數y=x²-2x-m能取得所有的正值，即判別式△=4+4m≥0，解得m≥-1，故②正確；
③函數f（x）=x³，滿足f′（0）=0，但此時函數f（x）無極值，故函數y=f（x）在x=x₀處取得極值錯誤，故③錯誤；
④當a=1，函數f（x）=

a-ex

1+aex

=

1-ex

1+ex

，則f（-x）=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

1+ex

=-

1-ex

1+ex

=-f（x）是奇函數，
當a=-1時f（x）=

-1-ex

1-ex

=

ex+1

ex-1

，滿足f（-x）=

e-x+1

e-x-1

=

1+ex

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f（x），此時f（x）是奇函數，但a=1不成立，
即④“a=1”是“函數f（x）=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數”的充分不必要條件，故④正確．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．