Question

（（本題14分）如圖4，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為4。一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D。

(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為；

(Ⅲ)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，

∴可解得，∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；；                       …2分

∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，

∴該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為                       …4分

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（），則，

∴，                           …6分

     

又點(diǎn)P在雙曲線上，∴有，即，

∴。                                    …8分

（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得恒成立，則由（Ⅱ）知，

∴設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，

由方程組消y得：，…10分

設(shè)，B（），                                          

則由韋達(dá)定理得：，

∴，同理可得

，…12分

又∵，

∴有－，

∴存在常數(shù)，使得＝恒成立。        …14分

 

【解析】略