Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第2項、第5項、第14項分別為等比數(shù)列{b_n}的第2項、第3項、第4項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{c_n}對n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）寫出等差數(shù)列的第2項、第5項、第14項，由其分別為等比數(shù)列{b_n}的第2項、第3項、第4項列式求出d，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求，然后求出數(shù)列{b_n}的第2項、第3項，則其公比可求，利用求通項公式；
（2）在中取n=1求出c₁，取n≥2得另一遞推式，兩式作差后可求數(shù)列{c_n}的通項公式，最后利用等比數(shù)列的求和公式即可求得c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．
解答：解：（1）因為a₁=1，則a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
又等差數(shù)列{a_n}的第2項、第5項、第14項分別為等比數(shù)列{b_n}的第2項、第3項、第4項，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
即3d（d-2）=0，又公差d＞0，∴d=2，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴數(shù)列{b_n}的公比為3，
則b_n==3•3^n-2=3^n-1．
（2）由①
當n=1時，=a₂=3，∴c₁=3，
當n＞1時，++…+=a_n②
①-②得 =a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2 
∴c_n=2b_n=2•3^n-1（n＞1），而c₁=3不適用該通項公式．
∴c_n=．
∴c₁+c₂+c₃+…c₂₀₁₂=3+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹
=1+2•1+2•3+2•3²+…+2•3²⁰¹¹=1+2•=3²⁰¹²．
點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，兩遞推式聯(lián)立時注意n的適用范圍，考查了等比數(shù)列的前n項和，此題屬中檔題．