Question

如圖，在二面角αlβ中，A、B∈α，C、D∈l，四邊形ABCD為矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中點(diǎn)．

(1)求二面角αlβ的大��；

(2)求證：MN⊥AB；

(3)求異面直線PA和MN所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：連結(jié)PD，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD⊥DC，又PA⊥α，∴PD⊥l．∴∠PDA為二面角αlβ的平面角． 　　又∵PA⊥AD，PA＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形．∴∠PDA＝45°，即二面角αlβ的平面角為45°． 　　(2)證明：過M作ME∥AD，交CD于E，連結(jié)NE，則ME⊥CD，NE⊥CD，∴CD⊥平面MNE，MN⊥CD． 　　又∵AB∥CD，∴MN⊥AB． 　　(3)解：過N作NF∥CD，交PD于F，∵N是PC的中點(diǎn)，∴F是PD的中點(diǎn)．連結(jié)AF，可以證明四邊形AMNF是平行四邊形，∴AF∥MN，∠PAF是異面直線PA和MN所成的角． 　　∵PA＝AD，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)．∴AF是∠PAD的角平分線． 　　∵∠PAD＝90°，∴∠PAF＝45°．∴異面直線PA和MN所成的角為45°．