Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，極小值；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）令，再列表可得：遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是，極小值；（2）由（1）知， ．由存在零點，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且是在區(qū)間上的唯一零點；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上僅有一個零點，綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．

試題解析：（1）由得，

由解得與在區(qū)間上的情況如下：

	-		+

所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

在處取得極小值．

（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為．

因為存在零點，所以，從而，

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，

所以是在區(qū)間上的唯一零點．

當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且．

所以在區(qū)間上僅有一個零點，

綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．