Question

已知某精密儀器生產(chǎn)總成本C（單位：萬元）與月產(chǎn)量x（單位：臺）的函數(shù)關(guān)系為C=100+4x，月最高產(chǎn)量為15臺，出廠單價p（單位：萬元）與月產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系為：p=76+15x-x²．
（1）求月利潤L與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）求月產(chǎn)量x為何值時，月利潤L（x）最大？

Answer 1

分析：（1）月利潤函數(shù)L（x）=出廠單價p×月產(chǎn)量x-成本C，代入數(shù)據(jù)計算即可；
（2）由（1）知，利潤函數(shù)L（x）是x的三次函數(shù)，對L（x）求導(dǎo)，令L'（x）=0，解得x的值，得出L（x）取最大值以及對應(yīng)x的值．

解答：解：（1）月利潤函數(shù)為：L（x）=px-C=（76+15x-x²）x-（100+4x）=-x³+15x²+72x-100，
其中0＜x≤15．
（2）因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)L（x）是x的三次函數(shù)，對L（x）求導(dǎo)，得
L′（x）=-3x²+30x+72=-3（x+2）（x-12）；
令L'（x）=0，解得x=12，或x=-2（舍去），
當(dāng)x∈（0，12）時，L'（x）＞0；當(dāng)x∈（12，15]時，L'（x）＜0；
因此，當(dāng)x=12時，L（x）取最大值；
所以，月產(chǎn)量為12臺時，月利潤L（x）最大，最大月利潤為L（12）萬元．

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查了三次函數(shù)模型的應(yīng)用，求三次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題時，通常用求導(dǎo)法．