Question

如圖，在△ABC中，

CM

=2

.

BM

，過(guò)點(diǎn)M的直線分別交射線AB、AC于不同的兩點(diǎn)P、Q．若

.

AP

=m

.

AB

，

.

AQ

=n

.

AC

，則m+n的最小值為（　�。�

• A、1+

  2 2

  3

• B、2

  2

• C、3
• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：首先根據(jù)的向量的幾何意義，利用P，M，Q三點(diǎn)共線，得出m，n的關(guān)系，分別令

1

n

=y，

1

m

=x，f（x）=m+n，得到關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，在求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最小值．

解答： 解：如圖：

∵

BC

=

AC

-

AB

，

CM

=2

.

BM

，
∴

BM

=

1

3

BC

=

1

3

(

AC

-

AB

)
∴

AM

=

AB

+

BM

=

1

3

AC

+

2

3

AB

∵

.

AP

=m

.

AB

，

.

AQ

=n

.

AC

，
∴

AM

=

1

3n

AQ

+

2

3m

AP

∵P，M，Q三點(diǎn)共線，
∴

1

3n

+

2

3m

=1，
令

1

n

=y，

1

m

=x，
∴

y

3

+

2x

3

=1
∴y=3-2x，
∵x＞0，y＞0
∴0＜x＜

3

2

，
令f（x）=m+n=

1

x

+

1

y

=

1

x

+

1

3-2x

，
∴f′（x）=

2

(3-2x)2

-

1

x2

令f′（x）=0，
∴

2

(3-2x)2

=

1

x2

解得，x=

6-3 2

2

，或x=

6+3 2

2

＞

3

2

（舍去）
當(dāng)x=

6-3 2

2

時(shí)，f（x）有最小值，
∴f（x）_min=1+

2 2

3

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的幾何意義以及三點(diǎn)共線定理以及利用到導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的最小值問(wèn)題，是一道綜合題目，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，考查了化歸思想，方程的思想．屬于難題．